Sep 26, 2026

モンティ・ホール問題 ─ あなたの直感は今も間違っている

動画版（約6分）。急いでいる方はまずこちらでもOK。

前回まで（W1 宝くじ / W2 保険）は、お金の話でした。今回は少し毛色を変えて、確率的な直感がどう壊れるか の話です。

あなたの前に、3つのドアがあります。1つの後ろには車、2つの後ろにはヤギがいます。まず1つ選んでください。

選んだあと、答えを知っている司会者モンティが、残りの2つのうち、ヤギがいる方のドア を開けてみせます。「さて、選択を変えますか？」

多くの人は「変えても変えなくても、残った2つのドアの後ろに車がある確率は 1/2」と答えます。

それが間違いです。ドアを変えたほうが、勝率は 2倍になります。

L1｜問題そのものを整理する

正確な設定はこうです。

ドアは A, B, C の3つ。裏には車が1台、ヤギが2匹（ランダムに配置）
あなたは A を選ぶ
司会者は 裏を全部知っている。B と C のうち ヤギがいる方 を必ず開ける。もし B と C の両方がヤギなら、どちらかをランダムに開ける
司会者が例えば C（ヤギ）を開けた
「A のままにしますか？ B に変えますか？」

「A も B も1/2ずつでは？」と思ったあなた、実は多くの研究者も同じ間違いをしました。1990年、コラムニスト マリリン・ヴォス・サヴァント が雑誌 Parade の「Ask Marilyn」欄で「変えるべき」と書いた時、およそ 1 万通の反論が寄せられ、うち約 1,000 通が博士号保有者からのもの でした。高名な数学者 ポール・エルデシュ も、後にシミュレーションを見せられるまで納得しなかったと伝えられています（Vazsonyi の自伝より）。しかし正しかったのは、ヴォス・サヴァントの方でした。

L2｜直感はなぜ壊れるのか

答えは 「司会者は知っている」 の一文に凝縮されています。

司会者がランダムにドアを開けているなら、あなたの直感は正しい。しかし司会者は 必ずヤギを開ける。この “情報の非対称” が確率を歪めます。

もう一度、最初の選択に戻りましょう。

車がある確率が最も高いのは、あなたが選ばなかった残り2枚（合計 2/3）
あなたが選んだドア A に車がある確率は 1/3

司会者が「残り2枚のうち、ヤギの方」を開けてくれた瞬間、残り2枚の中にあった 2/3 の確率が、B 1枚に凝縮 されます。

一言まとめ：司会者は “ヤギを1枚外してくれる” のではなく、“当たりの居場所を1枚に絞ってくれる”。あなたが受け取っているのは、実質的な当選番号のヒントです。

L3｜シミュレーションで確認する

理屈が納得できなくても、シミュレーションで結果は変わりません。10,000回試行してみましょう。

戦略	勝率（10,000回）
ドアを変えない	約 33.3%（＝ 1/3）
ドアを変える	約 66.7%（＝ 2/3）

変えるだけで勝率が2倍になる。3年連続の実験でも、100万回の試行でも、この数字は動きません。

“神は宝くじで遊ばない” とアインシュタインは言いましたが、モンティ・ホールでは、遊ばないほうが損をします。

L4｜条件付き確率で解く

数式で確認します。「B のドアの裏に車がある」という事象を $C_B$ 、「司会者が C を開けた」という事象を $O_C$ と書きます。

求めたいのは：

P(C_B \mid O_C) = \frac{P(O_C \mid C_B) \cdot P(C_B)}{P(O_C)}

各項を埋めていきます。

事前確率 $P(C_B) = 1/3$ （車の位置は等確率）
尤度 $P(O_C \mid C_B) = 1$ （B に車があるなら、A を選んだあなたに対して司会者は必ず C を開ける）
周辺確率 $P(O_C)$ $P (O_{C})$ = 「司会者が C を開ける」の全確率
- 車が A（あなたの選択）にある場合：司会者は B か C をランダム、 $P = 1/2$ 、事前 $1/3$ → 寄与 $1/6$
- 車が B にある場合：司会者は必ず C → $P = 1$ 、事前 $1/3$ → 寄与 $1/3$
- 車が C にある場合：司会者は C を開けない → $P = 0$
- 合計 $P(O_C) = 1/6 + 1/3 = 1/2$

したがって：

P(C_B \mid O_C) = \frac{1 \times 1/3}{1/2} = \frac{2}{3}

ドアを変えれば 2/3、そのままなら 1/3。数式は明快です。

L5｜ベイズ的に見ると「情報の更新」

L4 は結局、ベイズの定理 そのものです。ベイズの視点で言い直すと：

\underbrace{P(C_B \mid O_C)}_{\text{事後確率}} = \underbrace{P(C_B)}_{\text{事前確率}} \times \underbrace{\frac{P(O_C \mid C_B)}{P(O_C)}}_{\text{更新係数}}

事前：どのドアも 1/3
観測：司会者が C を開けた
更新：B の確率は $1/3 \to 2/3$ 、A の確率は $1/3 \to 1/3$ （変わらず）、C の確率は $1/3 \to 0$

面白いのは、A の確率は動かない ということです。あなたが選んだドアは、司会者がどう動いても「1/3のまま」。動くのは B と C だけ。

一言まとめ：モンティ・ホール問題は “3枚のドアから1枚を選ぶゲーム” ではなく、“1枚を選んで、司会者から情報を受け取って、確率を更新するゲーム”。直感は前者を、数式は後者を見ています。

L6｜同じ構造は日常に潜んでいる（研究者コラム）

司会者の “情報の非対称” は、実世界のあちこちに現れます。

医療検査の陽性率

ある病気の有病率が 1%、検査の精度（感度・特異度）が 99% だとします。ランダムに検査を受けて陽性だった時、実際に病気である確率は？

多くの人が「99%」と答えますが、実際は約 50%。ベイズの定理を適用すると：

P(\text{病気} \mid \text{陽性}) = \frac{0.99 \times 0.01}{0.99 \times 0.01 + 0.01 \times 0.99} = 0.50

事前確率（有病率）が低いと、検査が「陽性」でも実際に病気である確率は思ったほど高くない ─ これは ベース率の錯誤 と呼ばれる古典的な認知バイアスです。

迷惑メール判定

「無料」「今すぐ」というワードは迷惑メールに多い。でも普通のメールにも登場します。単語を見て「迷惑メール確率」を出すのは、まさにベイズ更新。有名なナイーブ・ベイズ分類器はこの仕組みです。

学術文献（既発表のみ）

Selvin (1975) “A problem in probability” (American Statistician) ― モンティ・ホール問題の原論文
vos Savant (1990) “Ask Marilyn” Parade Magazine ― 論争を巻き起こしたコラム
Rosenhouse (2009) “The Monty Hall Problem: The Remarkable Story of Math’s Most Contentious Brain Teaser” ― 一冊まるまるモンティ・ホールを扱う学術書
Kahneman & Tversky (1973) “On the psychology of prediction” ― ベース率無視のバイアス研究の古典
Rosenthal (2006) 『思いがけず数学を使う日常』（Struck by Lightning）― 一般読者向け

一般読者に持ち帰ってほしいこと

直感は「対称な世界」を見る。数式は「情報の非対称」を追う
相手が “知っている” 状況では、あなたの確率は素朴に半々ではない
医療検査、詐欺メール、就活のスクリーニング ─ 世の中は “モンティ・ホール構造” だらけ

おわりに

3つのドア、1つの車、2匹のヤギ。ここから始まった話は、ベイズの定理、医療統計、機械学習まで繋がっていきます。

もう一度、最初の問いに戻ります。

ドアを変えるべきか？

数学の答えは：「変える。それだけで勝率は2倍になる」。ただし、これは司会者が 裏を知っていて、必ずヤギを開ける という条件付き。もし司会者がランダムに開けているなら、答えは「変えても変えなくても同じ」に戻ります。問題は “何を仮定しているか” にすべてがかかっている ─ これが確率の面白いところ。

次の週は 誕生日問題。「同じ誕生日の人が2人いる確率が50%を超えるのに、必要な人数は？」あなたの直感は、たぶんまた間違えます。